문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 코시-리만 방정식 (문단 편집) ==== 본정리(Looman-Menchoff theorem) ==== ||복소평면상의 열린 집합 [math(C)]에서 정의된 연속함수 [math(f)]가 모든 [math(x + iy \in C\ (x,\, y \in \mathbb{R}))]에 대하여 [math(\displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x},\, f_y = \frac{\partial f}{\partial y})]가 존재한다고 하자. 이때 [math(C)] 위에서 다음 식을 만족시키면 [math(f)]는 [math(C)]에서 미분 가능(holomorphic, analytic)하다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left( f_x + if_y \right) \equiv 0 \ \text{on }C. )]}}}|| {{{#!folding [ 증명 ] [math(z \in C)] 중 어떤 [math(z)]의 근방(neighborhood) [math(U_z)]가 존재하여 [math(f)]가 [math(U_z)]에서 미분 가능하게 만드는 [math(z)]들을 모두 모은 집합을 [math(C')]이라고 하자. [math(E = C \setminus C')]이라 하면 [math(E)]는 [math(C \setminus E)] 위에서 [math(f)]가 정칙이 되게 하는 가장 작은 [math(C)]의 닫힌 부분집합일 것이다. 우리가 보이고 싶은 것은 [math(E = \emptyset)]이므로, [math(E \not= \emptyset)]을 가정하자. 먼저 열린 집합 [math(W \subseteq C)]와 상수 [math(M > 0)]이 존재하여 [math(E \cap W \not= \emptyset)]이고, [math((x,\, y) \in E \cap W)], [math((x',\, y),\, (x,\, y') \in W)]에 대하여 [math(|f(x',\, y) - f(x,\, y)| \le M|x' - x|,\ |f(x,\, y') - f(x,\, y)| \le M|y' - y|)] 를 만족한다고 하자. [math(k \in \mathbb{N})]일 때 아래와 같은 집합을 정의한다. [math(\displaystyle \begin{aligned} &C_k^{(1)} = \left\{ (x,\, y) \in C \,\big\vert\, |f(x',\, y) - f(x,\, y)| \le k|x' - x| \text{ for } |x' - x| \le \frac{1}{k} \right\}, \\ &C_k^{(2)} = \left\{ (x,\, y) \in C \,\big\vert\, |f(x,\, y') - f(x,\, y)| \le k|y' - y| \text{ for } |y' - y| \le \frac{1}{k} \right\}, \\ &C_k = C_k^{(1)} \cap C_k^{(2)}. \end{aligned})] 그러면 [math(f)]는 연속이므로 [math(C_k)]는 [math(C)]에서 닫힌 집합이다. 그리고 [math(C)] 위의 모든 점에서 [math(f_x)]와 [math(f_y)]가 존재하므로 [math(x')]과 [math(y')]이 각각 [math(x)]와 [math(y)]로 갈 때, [math((f(x',\, y) - f(x,\, y))/(x' - x))]와 [math((f(x,\, y') - f(x,\, y))/(y' - y))]는 모두 수렴한다. 따라서 [math(\bigcup_{k \ge 1} C_k = C)]가 되고, [math(\bigcup_{k \ge 1} (C_k \cap E) = E)]가 된다. '''베르의 범주 정리(Baire category theorem)'''[* 조밀한 열린 집합들(dense open sets)의 가산 교집합(countable intersection)은 조밀(dense)하다라는 정리이다.][* 이 정리에 여집합을 적용하면 어디에서도 조밀하지 않은 닫힌 집합들(nowhere dense closed sets)의 가산 합집합(countable union)은 여전히 어디에서도 조밀하지 않으며, 만약 합집합한 결과가 공집합이 아닌 내부(nonempty interior)를 가질 경우 합집합하는 집합 중 적어도 하나는 공집합이 아닌 내부를 가져야 함을 알 수 있다.]에 따라 [math(C_k \cap E)] 중 하나인 [math(C_{k_0} \cap E)]는 [math(E)] 안에서 공집합이 아닌 내부(nonempty interior)를 가져야 함을 알 수 있다. 이 말은 열린 집합 [math(W \subset C)]가 존재하여 [math(\emptyset \not= W \cap E \subset C_{k_0} \cap E)]를 만족한다는 것이다. 그러면 [math(W)]가 [math(C)]에서 상대적 컴팩트(relatively compact)라고 할 수 있다. 그러면 [math(W)] 위에서 [math(|f| < c/2)]를 만족하는 [math(c > 0)]가 존재한다. 따라서 [math((x,\, y) \in E \cap W \subset C_{k_0} \cap E)], [math((x',\, y),\, (x,\, y') \in W)]에 대하여 [math(\displaystyle \left\vert f(x',\, y) - f(x,\, y) \right\vert \le \begin{cases} k_0|x' - x| & \text{if }\ |x' - x| \le \frac{1}{k_0} \\ ck_0|x' - x| & \text{if }\ |x' - x| > \frac{1}{k_0} \\ \end{cases})] 가 성립하고, 비슷한 방식으로 [math(\left\vert f(x,\, y') - f(x,\, y) \right\vert)]의 경우도 증명할 수 있다. 결과적으로 [math(M = \max\{k_0,\, ck_0\})]임을 알 수 있다. 이제 [math(f)]가 [math(W)] 위에서 미분 가능임을 보이자. 이는 '''모레라의 정리(Morera's theorem)'''[* 연결 열린 집합(connected open set) [math(D \subseteq \mathbb{C})]에서 연속 함수 [math(f : D \to \mathbb{C})]가 미분 가능할 필요충분조건은 임의의 조각마다(piecewise) [math(\mathcal{C}^1)] 닫힌 곡선 [math(\gamma : [\alpha,\, \beta] \to D)]에 대하여 [math(\int_{\gamma} f\,dz = 0)]이다.]에 따라 임의의 닫힌 사각형 영역 [math(R = [a,\, b] \times [c,\, d] \subset C)]에 대하여 [math(\int_{\partial R} f \,dz = 0)]임을 보이면 충분하다. [math(1/A \le (d - c)/(b - a) \le A)]인 상수 [math(A > 0)]를 선택하자. 그리고 임의의 양수 [math(\epsilon > 0)]에 대하여 [math(E \subset U)]이고, [math(m_2(U \setminus E) < \epsilon)] 인 열린 집합 [math(U)]를 잡자.[* 모든 닫힌 집합은 가측(measurable)이고, 외측도(outer measure)의 값과 같으므로 이러한 [math(U)]를 잡을 수 있다.] {{{#!wiki style="text-align:center" [[파일:cauchyriemman2.png|width=300px]] }}} 이제 [math(R)]을 가로와 세로로 절반씩 나누어 4등분하는 작업을 모든 사각형 영역에 반복하여 수행한다. 그러면 [math(N)]번 반복하였을 경우, 가로와 세로의 비율이 [math(R)]과 동일한 [math(4^N)]개의 작은 사각형 영역이 생기게 된다. 즉, 사각형 영역 중 하나를 [math(R_{j} = [\alpha,\, \beta] \times [\gamma,\, \delta])]일 때 [math(1/A \le (\delta - \gamma)/(\beta - \alpha) = (d - c)/(b - a) \le A)]이다. 이때 [math(N)]이 충분히 큰 경우, [math(R_j \cap E \not= \emptyset)]일 때 [math(R_j \subset U)] [math((j = 1,\, 2,\, \cdots \,,\, 4^N))]이 성립하게 된다. 따라서 [math(R_j \subset W \setminus E)]인 경우, '''코시 적분 정리'''에 의해 [math(\int_{\partial R_j} f \,dz = 0)]이므로 [math(\displaystyle \int_{\partial R} f \,dz = \sum_{j=1}^{4^N} \int_{\partial R_j} f \,dz = \sum_{\substack{R_j \,\cap\, E \not= \emptyset \\ j = 1,\, 2,\, \cdots \,,\,4^N}} \int_{\partial R_j} f \,dz)] 를 만족한다. [math(R_j^{(0)})]를 [math(E \cap R_j)]를 포함하는 모든 닫힌 사각형 영역의 교집합이라 했을 때, [math(\int_{\partial R_j} f \,dz = \int_{\partial R_j^{(0)}} f \,dz)]이다. [math(R_j \cap E \not= \emptyset)]이라 가정하고, '''보조정리 2'''를 적용하면 다음과 같다. [math(\displaystyle \begin{aligned} \left\vert \int_{\partial R_j} f \,dz \right\vert &= \left\vert \int_{\partial R_j^{(0)}} f \,dz \right\vert \\ &= \left\vert \int_{\partial R_j^{(0)}} f \,dz - 2i \iint_{E \cap R_j} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} \,dxdy \right\vert \quad (\because \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} \equiv 0) \\ & \le 8AM \cdot m_2 \left( R_j \setminus (E \cap R_j) \right) \end{aligned} )] 따라서 [math(\displaystyle \left\vert \int_{\partial R} f \,dz \right\vert \le \sum_{R_j \,\cap\, E \not= \emptyset} \left\vert \int_{\partial R_j} f \,dz \right\vert \le 8AM \sum_{R_j \,\cap\, E \not= \emptyset} m_2 \left( R_j \setminus (E \cap R_j) \right))] 이다. 여기서 적당히 큰 [math(N)]에 대해서 [math(R_j \cap E \not= \emptyset)]은 [math(R_j \subset U)]를 의미하고, [math(j \not= j')]일 경우 [math(m_2(R_j \cap R_{j'}) = 0)]이다. 따라서 [math(\displaystyle \sum_{R_j \,\cap\, E \not= \emptyset} m_2 \left( R_j \setminus (E \cap R_j) \right) \le m_2(U \setminus (E \cap U)) < \epsilon)] 이고, [math(\displaystyle \left\vert \int_{\partial R} f \,dz \right\vert < 8AM\epsilon)] 이다. 여기서 [math(\epsilon > 0)]은 임의의 양수이므로, [math(\int_{\partial R} f \,dz = 0)]임을 알 수 있다. 따라서 모레라의 정리(Morera's theorem)에 의해 [math(W)]에서 [math(f)]는 미분 가능하며, [math(W \cap E \not= \emptyset)]과 모순된다. 따라서 [math(E = \emptyset)]이고, '''[math(f)]는 [math(C)]에서 미분 가능(holomorphic, analytic)하다.''' }}} [[분류:해석학(수학)]][[분류:방정식]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기